Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” ІКТА, кафедра «Захисту інформації» Звіт З КУРСУ “ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ” НА ТЕМУ: “ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ`ЯЗУВАННЯ диференціАЛЬНИХ рівнянь“ Варіант 21 Виконав: Студент групи ІБ-2 Львів-2007 Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференційних рівнянь. Короткі теоретичні відомості Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції. Приклад: EMBED Equation.3
  EMBED Equation.3 
 (1) EMBED Equation.3
 (2) Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) EMBED Equation.3
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до EMBED Equation.3
-го порядку включно: EMBED Equation.3
 (3) EMBED Equation.3
 - незалежна змінна; EMBED Equation.3
- невідома функція (залежна змінна); EMBED Equation.3
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння EMBED Equation.3
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді: EMBED Equation.3
 (4) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші. Якщо ці значення задаються при EMBED Equation.3
 або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. Похибка інтегрування має порядок EMBED Equation.3
. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці EMBED Equation.3
 і EMBED Equation.3
 для оцінки похибки - перевага порівняно з методом Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку. Алгоритм методу 1. Задаємо число рівнянь EMBED Equation.3
, похибку EMBED Equation.3
, початковий крок інтегрування EMBED Equation.3
, початкові умови EMBED Equation.3
. 2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною EMBED Equation.3
 обчислюємо коефіцієнти  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3
 3. Знаходимо значення EMBED Equation.3
 EMBED Equation.3
 та похибку EMBED Equation.3
 4. Перевіряємо виконання умов EMBED Equation.3
 Можливі випадки: а) Якщо перша умова не виконується, тобто  EMBED Equation.3 
, то ділимо крок EMBED Equation.3
 на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення EMBED Equation.3
. б) Якщо виконується перша та друга умови, значення EMBED Equation.3
 та EMBED Equation.3
 виводяться на друк. Якщо друга умова не виконується, крок EMBED Equation.3
 збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2 (нема потреби обчислювати при малому кроці). Треба відмітити, що похибка EMBED Equation.3
 на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може...